Racines de la dérivée d’un polynôme quadratique

Nous savons que $P$ est un polynôme de degré 2 admettant pour racines $a$ et $b$, deux nombres complexes. $P$ peut alors s’écrire sous la forme

$$P = c(X-a)(X-b),$$

avec $c$ le coefficient dominant de $P$. En développant cette expression, on obtient ainsi

$$P = cX^2-c(a+b)X+cab.$$

On peut alors dériver $P$ pour obtenir

$$P' = 2cX-c(a+b).$$

On trouve donc que $P'$ admet pour unique racine

$$\frac{a+b}{2}.$$