Rayon spectral d’une matrice

Pour $A\in\mathcal{M}_n(\R)$, on note $\rho(A):=\underset{\lambda\in\mathcal{S}p(A)}{\max}\vert\lambda\vert$, où $\mathcal{S}p(A)$ est le spectre de $A$, le rayon spectral de $A$.

On note aussi $\Vert \cdot\Vert_2$ la norme euclidienne sur $\R^n$ et on dit qu’une norme $N$ sur $\mathcal{M}_n(\R)$ est sous-multiplicative si elle vérifie $N(AB)\leqslant N(A)N(B)$ pour tout $A,B\in\mathcal{M}_n(\R)$.

1. Montrer que $A\longmapsto \Vert A\Vert:=\underset{X\in\R^n, X\neq0}{\sup}\frac{\Vert AX\Vert_2}{\Vert X\Vert_2}$ est une norme sous-multiplicative. On appelle cette norme la norme d’opérateur.
2. Montrer que $\Vert A\Vert=\sqrt{\rho(A^TA)}$ pour tout $A\in\mathcal{M}_n(\R)$.
3. Soit $N$ une norme sous-multiplicative et $A\in\mathcal{M}_n(\R)$. Montrer que, si $\alpha>N(A)$, alors la suite $k\longmapsto \frac{A^k}{\alpha^k}$ tend vers $0$ pour $N$. En déduire une comparaison entre $N$ et $\rho$.
   4) a) Montrer que $\rho$ définit une norme sur l’espace des matrices symétriques réelles de taille $n$.
   4) b) Montrer alors que, pour $A$ symétrique réelle, $\rho(A)$ est égal à la borne inférieure des $N(A)$ où $N$ parcourt l’ensemble des normes sous-multiplicatives.