Réconciliation de Legendre et de Jacobi

Si $x=0$ c’est clair. Sinon, on pose $q=p^{s}$ et $\left(\dfrac{x}{q}\right)=x^{\frac{q-1}{2}}$ qui vaut $1$ si $x$ est un carré non nul dans $K$ et $-1$ sinon et $\left(\dfrac{x}{p}\right)=x^{\frac{p-1}{2}}$ qui vaut $1$ si $x$ est un carré non nul dans $\mathbb{F}_{p}$ et $-1$ sinon. On a la factorisation $q-1=(p-1)(p^{s-1}+\cdots+1)$ si bien que
$$x^{\frac{q-1}{2}}=\left(x^{\frac{p-1}{2}}\right)^{p^{s-1}+\cdots+1}.$$L’entier $p$ étant impair $p^{s-1}+\cdots+1$ est la somme de $s$ entiers impair et possède donc la même parité que $s.$ On en déduit que
$\boxed{\Rightarrow}$ Si $x$ est un carré dans $K$ mais pas dans $\mathbb{F}_{p}$ alors $1=x^{\frac{q-1}{2}}=(-1)^{p^{s-1}+\cdots+1}$ donc $s$ est pair.
$\boxed{\Leftarrow}$

• Si $x$ est un carré dans $\mathbb{F}_{p}$ alors $\exists y\in\mathbb{F}_{p}$ tel que $x=y^{2}$ (relation vraie dans $K$) donc $x$ est un carré dans $K$.
• Si $s$ est pair alors $x^{\frac{q-1}{2}}=(\pm 1)^{p^{s-1}+\cdots+1}=1$ donc $x$ est un carré dans $K.$

Remarquons une autre preuve très jolie dans le cas où $x$ n’est pas un carré dans $\mathbb{F}_{p}$ et que $s$ est pair. Dans ce cas, on pose le corps de rupture $L=\mathbb{F}_{p}[X]/\left<X^{2}-x\right>$ de $x\in\mathbb{F}_{p}$ qui est une extension de degré $2$ de $\mathbb{F}_{p}$ (car $X^{2}-x$ est irréductible dans $\mathbb{F}_{p}[X]$ par hypothèse). On considère alors $K'$ une extension de $L$ de degré $\dfrac{s}{2}$. Le corps $K'$ est un corps fini de cardinal $(p^{2})^{\frac{s}{2}}=p^{s}$. Mais, par unicité des corps finis, (à isomorphisme près) $K'\simeq K.$ On en déduit que $x$ étant un carré dans $K'$ c’est aussi un carré dans $K.$

Explication du titre du problème
Le fait que $p^{s-1}+\cdots+1$ ait la même parité que $s$ entraîne la relation
$$\left(\dfrac{x}{p^{s}}\right)=\left(\dfrac{x}{p}\right)^{s}.$$On peut interprêter ce résultat comme le fait que le symbole de Jacobi (ou de Kronecker) et le symbole de Legendre (généralisé) coïncident lorsque cela a un sens de les comparer. Ces deux symboles étant notés de la même manière cela n’engendre pas de conflit de notation (ouf) !