Reconnaître une matrice hermitienne

Remarques préliminaires

Pour vérifier qu’une matrice $M \in \mathcal{M}_{n}(\C)$ est hermitienne, on vérifie que $\forall i,j \in [\![1,n]\!], m_{i,j} = \overline{m_{j,i}}$.
Pour vérifier qu’une matrice $M \in \mathcal{M}_{n}(\C)$ est symétrique, on vérifie que $\forall i,j \in [\![1,n]\!], m_{i,j} = m_{j,i}$.

Pour une matrice hermitienne, on a en particulier le fait que tous ses coefficients diagonaux soient réels : $\forall i \in [\![1,n]\!], m_{i,i} = \overline{m_{i,i}}$ donc $\forall i \in [\![1,n]\!], m_{i,i} \in \R$ . Tandis que pour une matrice symétrique, aucune condition n’est imposée sur la diagonale : $\forall i \in [\![1,n]\!], m_{i,i} = m_{i,i}$ (condition triviale toujours vérifiée).

Une matrice symétrique réelle est hermitienne, en effet tous ses coefficients sont réels donc la condition $m_{i,j} = \overline{m_{j,i}}$ se ramène à $m_{i,j} = m_{j,i}$. Une matrice complexe à la fois symétrique et hermitienne est en fait une matrice réelle.

Une matrice complexe peut être hermitienne sans être symétrique et inversement, symétrique sans être hermitienne.
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Matrice A

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Les coefficients diagonaux sont réels : $2$, $5$ et $2$
Ensuite $a_{1,2} = \overline{a_{2,1}}$ en effet : $3 - 5i = \overline{3 +5i}$
Ensuite $a_{1,3} = \overline{a_{3,1}}$ en effet : $1+i = \overline{1-i}$
Enfin $a_{2,3} = \overline{a_{3,2}}$ en effet : $5 = \overline{5}$
Donc $A$ est hermitienne

Par contre $A$ n’est pas symétrique
En effet : $a_{1,2} \ne a_{2,1}$, en effet $3 - 5i \ne 3 + 5i$
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Matrice B

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$B$ n’est pas hermitienne
on a certes $b_{2,2} = \overline{b_{2,2}}$ ($b_{2,2} \in \R$) et $b_{1,2} = \overline{b_{2,1}}$
mais $b_{1,1} \ne \overline{b_{1,1}}$ autrement dit $i = b_{1,1} \notin \R$
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$B$ n’est pas symétrique car $i = b_{1,2} \ne b_{2,1} = -i$
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Matrice C

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$C$ est symétrique réelle donc $C$ est hermitienne.
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Matrice D

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$D$ est symétrique, la seule condition à vérifier pour montrer qu’une matrice de taille $2$ est symétrique est : $d_{1,2} = d_{2,1} = 2i$
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Cependant $D$ n’est pas hermitienne, $2i = d_{1,2} \ne \overline{d_{2,1}} = -2i$
ou encore $D$ n’est pas hermitienne car ses coefficients diagonaux ne sont pas tous réels : $i$ et $3i$.