Résoudre un système de congruences quelconque

Soient $a$ et $b$ , deux entiers $>0$ , distincts tels que $\operatorname{pgcd(a,b)}=d$

On cherche les solutions du système :
$$\left\{ \begin{array}{rcr} x\equiv r_{1} \ [ a]\\ x\equiv r_{2} \ [ b]\\ \end{array} \right.$$où $r_{1}$ et $r_{2}$ sont des entiers aussi.

Montrez que:

1. si $r_{1}\not\equiv r_{2} \ [ d]$
   alors il n’y a pas de solution

2. si $r_{1}\equiv r_{2} \ [ d]$ alors :

$\displaystyle x\equiv r_{1}+(r_{2}-r_{1})\left(\frac{a}{d}\right)^{\varphi(\frac{b}{d})}\ [\frac{ab}{d}]$

ou (mais ça conduit au même résultat)

$\displaystyle x\equiv r_{2}+(r_{1}-r_{2})\left(\frac{b}{d}\right)^{\varphi(\frac{a}{d})}\ [\frac{ab}{d}]$

où $\varphi$ est l’indicatrice d’Euler