Retrouver le centre d’un cercle à partir d’un arc de cercle

Voici donc un arc de cercle.

Ne sachant pas bien comment faire, on peut commencer par choisir deux points sur l’arc, et tracer le segment entre les deux.

On voudrait maintenant tracer une droite qui va, intuitivement, "en direction du centre du cercle". On peut avoir l’idée de la médiatrice du segment.

On sent que le centre va se trouver quelque part sur cette droite... Mais à quelle distance exactement ? On ne dispose pas du rayon.
Eh bien, refaisons exactement la même chose mais avec une autre paire de points de l’arc :

Nos deux médiatrices s’intersectent en un point. On dirait qu’il s’agit du centre $O$ du cercle! Mais comment le montrer ?

Les deux extrémités du premier segment appartiennent au cercle : elles sont donc à la même distance de $O$. Or, tout point situé à égale distance de deux points appartient à la médiatrice de ces points. Donc $O$ appartient à la première médiatrice.
Mais en refaisant ce raisonnement avec la seconde médiatrice, on obtient que $O$ appartient à la deuxième médiatrice également !
D’où le centre $O$ est bien l’intersection des deux médiatrices que nous avons construites.