Réunion de $2$ parties bornées

On considère $A$ et $B$ $2$ parties bornées de $E$.
Par définition, il existe $a,b\in E$ et $R_{a},R_{b}\in \mathbb{R_{+}^{*}}$ tel que
$$\begin{array}{rcl} A & \subset & B(a,R_a), \\[0.2em] B & \subset & B(b,R_b). \end{array}$$Donc $A \cup B \subset B(a,R_{a}) \cup B(b,R_{b})$.

Or pour tout $x\in B(a,R_{a}) \cup B(b,R_{b})$ :

• Si $x\in B(a,R_{a})$ alors $d(x,a) \le R_a$
• Si $x\in B(b,R_{b})$, alors, par inégalité triangulaire, $d(x,a)\le d(x,b)+d(a,b) \le R_b+d(a,b)$
  Donc dans tout les cas $d(x,a) \le \max(\,R_{a},R_{b}+d(a,b)\,).$

D’où $x\in B(a,\max(\, R_a,R_b+d(a,b)\,)$.
Donc $A \cup B \subset B(a,\max(\, R_a,R_b+d(a,b)\,)$.
Donc $A \cup B$ est bornée.