Réunion de parties connexe par arcs

Montrons que $A\cup B$ est connexe par arcs.
Soit $(a,b)\in A\times B$.
On sait que $A$ et $B$ sont non disjoints donc il existe $c \in A \cap B$.
Or $A$ est connexe par arcs, donc
$$\exists \gamma_{1} \in C([0,1],E) \text{ tel que } \gamma_{1}(0)=a \text{ et } \gamma_{1}(1)=c.$$De même, $B$ est connexe par arcs donc
$$\exists \gamma_{2} \in C([0,1],E) \text{ tel que } \gamma_{2}(0)=c \text{ et } \gamma_{2}(1)=b.$$

Posons
$$\gamma(x)= \gamma_{1}*\gamma_{2} (x)=\left\{ \begin{array}{ll} \gamma_1(2x) & \text{si } x\in [0,\frac{1}{2}],\\[0.3em] \gamma_2(x) & \text{si } x\in [\frac{1}{2},1]. \end{array} \right.$$Donc pour tout $(a,b)\in A\times B$, on a trouvé un chemin $\gamma$ continue sur $[0,1]$ tel que $\gamma(0)=a$ et $\gamma(1)=b$.
D’où $A\cup B$ est connexe par arcs.