From a function series to $\ln(2)$

1. Convergence normale. Chaque $f_n$ est continue et croissante sur $I$, donc
   $$\|f_n\|_{\infty,I}=\sup_{x\in I}|x^{n}|=\left(\frac12\right)^{n}.$$La série $\sum_n 2^{-n}$ est géométrique de raison $\frac12\in\,]0,1[$, donc convergente, de somme $2$. La série de fonctions $\sum f_n$ converge donc normalement sur $I$.

Les deux autres modes s’en déduisent. La convergence normale entraîne la convergence uniforme, qui entraîne la convergence simple. Les trois ont donc lieu sur $I$, et la somme vaut
$$S(x)=\sum_{n\geqslant 0}x^{n}=\frac{1}{1-x},\qquad x\in I .$$

2. La série $\sum f_n$ converge uniformément sur le segment $I$, et chaque $f_n$ y est continue. Le théorème d’intégration terme à terme d’une série uniformément convergente sur un segment s’applique :
   $$\int_0^{1/2}\Bigl(\sum_{n\geqslant 0}f_n(x)\Bigr)\mathrm{d}x=\sum_{n\geqslant 0}\int_0^{1/2}x^{n}\,\mathrm{d}x .$$Or, pour tout $n\geqslant 0$,
   $$\int_0^{1/2}x^{n}\,\mathrm{d}x=\left[\frac{x^{n+1}}{n+1}\right]_0^{1/2}=\frac{1}{(n+1)2^{n+1}} .$$

3. Le membre de gauche se calcule directement, la somme de la série géométrique étant $\frac{1}{1-x}$ :
   $$\int_0^{1/2}\frac{\mathrm{d}x}{1-x}=\Bigl[-\ln(1-x)\Bigr]_0^{1/2}=-\ln\frac12+\ln 1=\ln 2 .$$En comparant avec la question 2 :
   $$\sum_{n\geqslant 0}\frac{1}{(n+1)2^{n+1}}=\ln 2 . \qquad\blacksquare$$