Somme de deux carrés

Soit $n\in\mathbb{N}^{*}$ , on cherche une condition nécessaire et suffisante pour savoir si $\exist x,y\in \mathbb{Z}$ tel que $n=x^{2}+y^{2}$ .

Soient $x,y\in \mathbb{Z}$ , tel que $x^{2}+y^{2}\neq0$ et soit $p\neq 2$ premier tel que $v_{p}(x^{2}+y^{2})$ soit impaire. Justifier que $-1$ est un carré modulo $p$ . En déduire que $p\equiv 1[4]$ .
Soient $n$ et $m$ des entiers strictement positifs qui admettent une écriture comme somme de deux carrés. Montrer que $nm$ peut être écrit comme somme de deux carrés.
Soit $p$ premier et soit $a\not\equiv 0[p]$ , montrer qu’il existe un couple $x,y\in\mathbb{Z}$ avec $0<|x|,|y|<\sqrt{p}$ tel que $x\equiv ay[p]$ .
En déduire que si $p\equiv 1 [4]$ alors $p$ peut être écrit comme somme de deux carrés.
En déduire une condition nécessaire et suffisante pour que $n$ puisse être écrit comme somme de deux carrés.

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Solution by Zoidberg

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On a $p|x^{2}+y^{2}$ , donc $x^{2}\equiv -y^{2}[p]$ . Si $p|y$ alors $p^{2}|y^{2}$ , et on peut étudier la somme $(\frac{x}{p})^{2}+(\frac{y}{p})^{2}$ modulo $p$ , comme $v_{p}(x^{2}+y^{2})$ est impaire on a $v_{p}((\frac{x}{p})^{2}+(\frac{y}{p})^{2})=v_{p}(x^{2}+y^{2})-2$ impair et donc non nul.
On peut donc supposer que $x$ et $y$ ne sont pas divisibles par $p$ . Donc $-1\equiv (xy^{-1})^{2}$ , donc $-1$ est un carré modulo p. Sachant que $p\neq2$ , par le symbole de Legendre $-1$ est un carré modulo p si et seulement si $p\equiv 1[4]$ .
Si $\exist x,y,x',y'\in\mathbb{Z}$ tels que $n=x^{2}+y^{2}$ et $m=(x')^{2}+(y')^{2}$ , alors $n=||x+iy||^{2}$ et $m=||x'+iy'||^{2}$ donc $nm=||(x+iy)(x'+iy')||^{2}=(xx'-yy')^{2}+(xy'+yx')^{2}$ avec $xx'-yy'$ et $xy'+yx'$ entiers.
Il y a $(E(\sqrt{p})+1)^{2}$ couples $(x,y)\in\mathbb{Z}^{2}$ avec $0<x,y\leq E(\sqrt{p})+1$ , où $E$ est la fonction partie entière. Comme $(E(\sqrt{p})+1)^{2}>p$ , par le lemme des tiroirs, il existe $(x,y)\neq(x',y')$ tel que $x-ay\equiv x'-ay'[p]$ . Donc $(x-x')-a(y-y')=0$ . Comme $a\not\equiv 0[p]$ on a $(x,y)\neq(x',y')\Rightarrow x\not\equiv x'[p]$ et $y\not\equiv y' [p]$ . Comme $0<x,y\leq E(\sqrt{p})+1$ on obtient que $0<|x-x'|,|y-y'|<\sqrt{p}$ .
Si $p\equiv 1 [4]$ alors $-1$ est un carré modulo $p$ donc $\exist a\in\mathbb{Z}$ tel que $a^{2}\equiv -1[p]$ et donc par la question 3, $\exist 0<|x|,|y|<\sqrt{p}$ tels que $x\equiv ay[p]\Rightarrow x^{2}\equiv-y^{2}\Rightarrow p|x^{2}+y^{2}$ . De plus $0<|x|,|y|<\sqrt{p}$ donc $0<x^{2}+y^{2}<2p$ donc $x^{2}+y^{2}=p$ .
Soit $n\in\mathbb{N}^{*}$ , on peut écrire $n=N^{2}M$ , avec $N,M\in\mathbb{N}$ et tel que $\forall p$ premier tel que $p|M,p^{2}\not|M$ .
Par la question 1, si $p$ premier impair divise $M$ alors $p\equiv 1[4]$ .
Inversement $M^{2}=M^{2}+0^{2}$ peut être écrit comme une somme de carrés, $2=1^{2}+1^{2}$ aussi et si $p$ premier impair est congru à 1 modulo 4 alors il peut être écrit comme la somme de deux carrés. Donc si tout les diviseurs premiers impairs de M sont congru à 1 modulo 4, par la question 2 n peut être écrit comme la somme de deux carrés.
On en déduit que $n\in \mathbb{N}^{*}$ peut être écrit comme la somme de deux carrés si et seulement si tout ses diviseurs premiers impairs de valuation p-adic impaire sont congrus à 1 modulo 4.

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