On a p∣x2+y2, donc x2≡−y2[p]. Si p∣y alors p2∣y2, et on peut étudier la somme (px)2+(py)2 modulo p, comme vp(x2+y2) est impaire on a vp((px)2+(py)2)=vp(x2+y2)−2 impair et donc non nul. On peut donc supposer que x et y ne sont pas divisibles par p. Donc −1≡(xy−1)2, donc −1 est un carré modulo p. Sachant que p=2, par le symbole de Legendre −1 est un carré modulo p si et seulement si p≡1[4].
Si ∃x,y,x′,y′∈Z tels que n=x2+y2 et m=(x′)2+(y′)2, alors n=∣∣x+iy∣∣2 et m=∣∣x′+iy′∣∣2 donc nm=∣∣(x+iy)(x′+iy′)∣∣2=(xx′−yy′)2+(xy′+yx′)2 avec xx′−yy′ et xy′+yx′ entiers.
Il y a (E(p)+1)2 couples (x,y)∈Z2 avec 0<x,y≤E(p)+1, où E est la fonction partie entière. Comme (E(p)+1)2>p, par le lemme des tiroirs, il existe (x,y)=(x′,y′) tel que x−ay≡x′−ay′[p]. Donc (x−x′)−a(y−y′)=0. Comme a≡0[p] on a (x,y)=(x′,y′)⇒x≡x′[p] et y≡y′[p]. Comme 0<x,y≤E(p)+1 on obtient que 0<∣x−x′∣,∣y−y′∣<p.
Si p≡1[4] alors −1 est un carré modulo p donc ∃a∈Z tel que a2≡−1[p] et donc par la question 3, ∃0<∣x∣,∣y∣<p tels que x≡ay[p]⇒x2≡−y2⇒p∣x2+y2. De plus 0<∣x∣,∣y∣<p donc 0<x2+y2<2p donc x2+y2=p.
Soit n∈N∗, on peut écrire n=N2M, avec N,M∈N et tel que ∀p premier tel que p∣M,p2∣M. Par la question 1, si p premier impair divise M alors p≡1[4]. Inversement M2=M2+02 peut être écrit comme une somme de carrés, 2=12+12 aussi et si p premier impair est congru à 1 modulo 4 alors il peut être écrit comme la somme de deux carrés. Donc si tout les diviseurs premiers impairs de M sont congru à 1 modulo 4, par la question 2 n peut être écrit comme la somme de deux carrés. On en déduit que n∈N∗ peut être écrit comme la somme de deux carrés si et seulement si tout ses diviseurs premiers impairs de valuation p-adic impaire sont congrus à 1 modulo 4.
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