Somme des zéros de $P^{(k)}$

1. Soit $P \in \mathbb{C}[X]$, on note $a_{k}$ ses coefficients.
   Comme tout polynôme de $\mathbb{C}[X]$ est scindé sur $\mathbb{C}$, et comme $\forall k=1,...,n, P^{(k)}\in\mathbb{C}[X]$, toutes les dérivées de $P$ sont scindées sur $\mathbb{C}$.

Par récurrence immédiate, on établit que le $j$-ième coefficient de $P^{(k)}$ est $\frac{(j+k)!}{j!} a_{j+k}$
On peut alors utiliser les formules de Viète:
$$\text{si } x_{1},...,x_{n-k} \text{ sont les racines comptées avec leur ordre de multiplicité de } P^{(k)}, \alpha_{k}=\sum_{i=1}^{n}x_{i}=-\frac{a_{n-1}}{a_{n}}$$Donc $\alpha_{k}=-\frac{\frac{(n-1)!}{(n-k-1)!} a_{n-1}}{\frac{n!}{(n-k)!} a_{n}}=-\frac{n-k}{n}\frac{a_{n-1}}{a_{n}}$
Donc $a_{k+1}-a_{k}=\frac{1}{n} \times \frac{a_{n-1}}{a_{n}}=r$.
Donc $(\alpha_{1},...,\alpha_{n-1})$ est bien une suite arithmétique de raison $r=\frac{1}{n} \times \frac{a_{n-1}}{a_{n}}$.

2. Dans le cas où $P\in\mathbb{R}[X]$, montrons $P \text{ scindé sur } \mathbb{R} \implies (\alpha_{1},...,\alpha_{n-1}) \text{ suite arithmétique}$.
   Pour cela, il faut montrer que si $P$ scindé sur $\mathbb{R}$, alors ses dérivées le sont également.

Comme $P$ scindé de degré $n$, on note
$$P=\prod_{i=1}^{r}(X-x_{i})^{\lambda_{i}}$$, où les $x_{i}$ sont les racines et les $\lambda_{i}\geq 1$ est le degré de multiplicité de la racine $x_{i}$.
Il vient que l’on connait certaines racines de $P'$, qui sont celles avec un degré de multplicité supérieur à 2. De plus, chaque racine perd un degré de multiplicité en dérivant.
Il vient que l’on connait $\sum_{i=1}^{r} (\lambda_{i}-1)=\sum_{i=1}^{r} \lambda_{i} - r=n-r$ racines de $P'$ en comptant leur degré de multiplicité.
Pour trouver les $r-1$ racines restantes, comme $P$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, on utilise $r-1$ fois le théorème de Rolle entre les racines $x_{i}$ de $P$.
Il vient que l’on trouve l’existence de $(x'_{1},...,x'_{r-1})$ vérifiant:
$$\forall i=1,...,r-1, x_{i}<x'_{i}<x_{i+1} \text{ et } P'(x'_{i})=0$$On a trouvé $n-1$ racines de $P'$ en comptant le degré de multplicité et $P'$ de degré $n-1$, donc $P'$ est scindé sur $\mathbb{R}$.
Le reste de la démonstration est analogue au cas où $P\in \mathbb{C}[X]$, il vient donc que $(\alpha_{1},...,\alpha_{n-1})$ est une suite arithmétique.

La réciproque cependant, est fausse: en considérant le polynôme $Q=X^{3}+X$, où $0,i,-i$ sont racines, donc non scindé sur $\mathbb{R}$,
$$\alpha_{1}=\frac{0}{3}=0$$$$\alpha_{2}=\frac{0}{6}=0$$La suite $(\alpha_{1}, \alpha_{2})$ est bien arithmétique de raison $0$, mais $Q$ n’est pas scindé sur $\mathbb{R}$