Somme d’inverse et nombre premier

La solution déjà proposée est très élégante mais j’ai pensé à une autre alors je la laisse au cas où elle peut plaire à quelqu’un.
On étend le morphisme canonique $\pi\colon\mathbb{Z}\longrightarrow \mathbb{F}_{p}$ à l’anneau $\mathbb{Z}_{(p)}=\left\{\dfrac{a}{b}\in\mathbb{Q}\mid p\nmid b\right\}$ (par propriété universelle de la localisation) et on le note toujours $\pi.$ Ainsi
$$\pi\left(\sum_{k=1}^{p-1}\dfrac{1}{k}\right)=\sum_{x\in\mathbb{F}_{p}^{\times}}x^{-1}\underbrace{=}_{x\overset{\simeq}{\mapsto} x^{-1}}\sum_{x\in\mathbb{F}_{p}^{\times}}x=\sum_{k=1}^{n}\overline{k}=\overline{2^{-1}(p-1)p}=0\in\mathbb{F}_{p}.$$C’est donc que la $p$-valuation du rationnel $\displaystyle\sum_{k=1}^{p-1}\dfrac{1}{k}$ est supérieure à $1.$