Somme d’inverse et nombre premier

Sans perdre de généralité, on peut supposer que $a$ et $b$ sont premiers entre eux, c’est-à-dire

$$\gcd(a,b)=1.$$

En se plaçant dans $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$, qui est un corps car $p$ est premier, on a, d’après le petit théorème de Fermat,

$$X^{p-1}-1=\prod_{i=1}^{p-1}(X-i).$$

On identifie le coefficient devant $X$ à l’aide des formules de Viète :

$$(-1)^{p-2}\sum_{i=1}^{p-1}\frac{(p-1)!}{i}=0.$$ Ainsi,

$$\sum_{i=1}^{p-1}\frac{(p-1)!}{i}=0,$$

soit

$$(p-1)!\,H_{p-1}=0,$$

où $(H_n)$ désigne la suite des sommes partielles de la série harmonique :

$$H_n=\sum_{k=1}^n\frac1k.$$

Comme

$$H_{p-1}=\frac{a}{b},$$

on obtient

$$p\mid (p-1)!\,a.$$

Or $p\nmid(p-1)!$. D’après le théorème de Gauss, on en déduit

$$\boxed{p\mid a}.$$