Somme d’une série de fonctions

Solution en vidéo : https://youtu.be/KAbDRo2iB5A

1. Soit $\left|x\right|<1$ alors $\left|\dfrac{x^n}{(1-x^n)(1-x^{n+1})}\right|\sim \left|x\right|^n$ donc, par positivité et équivalence notre série est de même nature que celle de $\displaystyle\sum \left|x\right|^n$. Ainsi $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{x^n}{(1-x^n)(1-x^{n+1})}$ converge absolument.
   Soit $\left|x\right|>1$ alors $\left|\dfrac{x^n}{(1-x^n)(1-x^{n+1})}\right|\sim\dfrac{1}{\left|x\right|^{n+1}}$ donc on a encore absolue convergence de la série. On en déduit que $f$ est définie sur $\mathcal{D}_f=\mathbb{R}\setminus\left\{-1,1\right\}.$
   Avant de poursuivre remarquons que $\forall x\neq \pm 1,$
   $$f\left(\dfrac{1}{x}\right)=\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{(1/x)^n}{(1-(1/x)^n)(1-(1/x)^{n+1})}=xf(x).$$Ainsi, si on montre la continuité de $f$ sur $]-1,1[$ on aura sa continuité en $\left|x\right|>1.$ Soit $0<\delta<1$ et $x\in [-\delta,\delta]$ alors, par la première et la deuxième inégalité triangulaire, on a $\left|\dfrac{x^n}{(1-x^{n})(1-x^{n+1})}\right|\leq \dfrac{\delta^n}{(1-\delta^n)(1-\delta^{n+1})}$ qui est le terme général d’une série convergente ne dépendant pas de $x$. On a donc convergence normale de $f$ sur toute intervalle de la forme $[-\delta,\delta]$ pour $0<\delta<1$ donc $f$ est continue sur $]-1,1[$ donc sur $\mathbb{R}\setminus\left\{-1,1\right\}$ grâce à l’équation fonctionnelle satisfaite par $f.$
2. Soit $\left|x\right|<1$ on développe le dénominateur en utilisant deux fois la formule de la somme des termes d’une suite géométrique $\colon \dfrac{1}{1-u}=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}u^k$.
   $$f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}x^n\sum_{k=0}^{+\infty}x^{kn}\sum_{\ell=0}^{+\infty}x^{(n+1)\ell}=\sum_{n=1}^{+\infty}\sum_{k=0}^{+\infty}\sum_{\ell=0}^{+\infty}x^{n+nk+(n+1)\ell}.$$La famille $(x^{n+nk+(n+1)\ell})_{n\in\mathbb{N}^*,(k,\ell)\in\mathbb{N}^2}$ étant sommable on peut réordonner notre somme, i.e. sommer par paquets. On somme donc d’abord sur $(k,\ell)\in\mathbb{N}^2$ puis sur $n\in\mathbb{N}^* \colon$
   $$f(x)=\sum_{(k,\ell)\in\mathbb{N}^{2}}^{+\infty}x^\ell\sum_{n=1}^{+\infty}x^{(1+k+\ell)n}=\sum_{(k,\ell)\in\mathbb{N}^{2}}^{+\infty}x^\ell\dfrac{x^{1+k+\ell}}{1-x^{1+k+\ell}}$$puis, en sommant par paquets obliques, i.e. posant le changement d’indice $m=1+k+\ell$,
   $$f(x)=\sum_{m=1}^{+\infty}\dfrac{x^m}{1-x^m}\sum_{\ell=0}^{m-1}x^\ell=\sum_{m=1}^{+\infty}\dfrac{x^m}{1-x^m}\dfrac{1-x^m}{1-x} =\dfrac{1}{1-x}\sum_{m=1}^{+\infty}x^m=\dfrac{x^2}{(1-x)^2}.$$

Soit $\left|x\right|>1$ alors $\left|\dfrac{1}{x}\right|<1,$ donc $f\left(\dfrac{1}{x}\right)=\dfrac{1}{x(1-1/x)^2}=\dfrac{x}{(x-1)^2}=xf(x)$. Donc
$$\forall \left|x\right|>1, f(x)=\dfrac{1}{(x-1)^2}.$$