Sous-espaces de fonctions dérivables

Dans toute la suite, on notera $N$ la norme uniforme sur $\left[0;1\right]$.
(1) Si on arrive à montrer que la boule unité fermée $B$ de $V$ est compacte (pour la norme
$N$), alors d’après le théorème de Riesz, l’espace vectoriel $V$ est de dimension finie.

(2) Pour démontrer la compacité de $B$, on peut prendre une suite de fonctions $\left(f_{m}\right)_{m}\in B^{\mathbb{N}}$, et montrer qu’elle possède une sous-suite convergente. Un critère qui permet d’obtenir cela est l’équicontinuité, en vertu du théorème d’Ascoli (version utilisée ici : une suite équicontinue et uniformément bornée possède une sous-suite uniformément convergente). Puisqu’on travaille avec une suite de fonctions de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur un segment, un critère suffisant (classique) pour obtenir l’équicontinuité est
$$\sup_{m\in \mathbb{N}} N\left(f_{m}'\right)<+\infty$$(3) Etant donné la seule hypothèse que l’on a sur les normes (par définition de $B$), il semble bon de montrer que
$$\exists C>0\quad : \quad \forall f\in V,\quad N\left(f'\right) \leq C N\left(f\right)$$Quitte à ajouter $N(f)$ au deux membres de l’inégalité, cela revient à démontrer que les normes $M : f\mapsto N(f')+N(f)$ et $N$ sont deux normes équivalentes sur $V$ .

Note : $M$ est bien une norme sur $V$, et $(V,N)$ ainsi que $(V,M)$ sont des espaces de Banach (sous-exercices plus simples que le reste de cet exercice ! )

(4) Ce dernier point revient à démontrer que $Id_{V} :\left(V,N \right)\longrightarrow \left(V,M\right)$, est continue.

C’est parti pour la preuve dans le bon sens !
(4) On sait que $Id_{V}:\left(V,M \right)\longrightarrow \left(V,N\right)$ est continue puisque l’identité est une application linéaire et que $N\leq M$ sur $V$(caractérisation de la continuité des applications linéaires).
D’après le théorème de l’isomorphisme de Banach, son inverse $Id_{V} :\left(V,N \right)\longrightarrow \left(V,M\right)$ est également continue. Le point (4) est vérifié.

(3) La caractérisation de la continuité des applications linéaires fournit une constante $c>0$ telle que $M\leq c N$ sur $V$, et donc
$$\forall f\in V,\quad N\left(f'\right) \leq \left(c-1\right) N\left(f\right)$$En posant $C:=c-1$ on a démontré (3).

(2) Soit $\left(f_{m}\right)_{m}\in B^{\mathbb{N}}$. Alors
$$\sup_{m\in \mathbb{N}} N\left(f_{m}'\right) \leq C \sup_{m\in \mathbb{N}} N\left(f_{m}\right) \leq C$$En vertu du théorème d’Ascoli, il existe une sous-suite $\left(f_{\varphi(m)}\right)_{m}$ qui converge vers une certaine fonction $f\in \mathcal{C}\left(\left[0;1\right],\mathbb{R}\right)$ pour la norme $N$ . Comme $V$ est fermé pour cette norme, on a en fait $f\in V$, et comme $B$ est fermé, on a aussi $f\in B$. Le point (2) est donc vérifié.

(1) Comme $B$ est compacte, le théorème de Riesz s’applique : $V$ est de dimension finie. CQFD !