Sous-espaces de fonctions dérivables

Dans toute la suite, on notera $N$ la norme uniforme sur $\left[0;1\right]$.
(1) Si on arrive à montrer que la boule unité fermée $B$ de $V$ est compacte (pour la norme
$N$), alors d’après le théorème de Riesz, l’espace vectoriel $V$ est de dimension finie.

(2) Pour démontrer la compacité de $B$, on peut prendre une suite de fonctions $\left(f_{m}\right)_{m}\in B^{\mathbb{N}}$, et montrer qu’elle possède une sous-suite convergente. Un critère qui permet d’obtenir cela est l’équicontinuité, en vertu du théorème d’Ascoli (version utilisée ici : une suite équicontinue et uniformément bornée possède une sous-suite uniformément convergente). Puisqu’on travaille avec une suite de fonctions de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur un segment, un critère suffisant (classique) pour obtenir l’équicontinuité est
$$\sup_{m\in \mathbb{N}} N\left(f_{m}'\right)<+\infty$$(3) Etant donné la seule hypothèse que l’on a sur les normes (par définition de $B$), il semble bon de montrer que
$$\exists C>0\quad : \quad \forall f\in V,\quad N\left(f'\right) \leq C N\left(f\right)$$Quitte à ajouter $N(f)$ au deux membres de l’inégalité, cela revient à démontrer que les normes $M : f\mapsto N(f')+N(f)$ et $N$ sont deux normes équivalentes sur $V$ .

Note : $M$ est bien une norme sur $V$, et $(V,N)$ ainsi que $(V,M)$ sont des espaces de Banach (sous-exercices plus simples que le reste de cet exercice ! )

(4) Ce dernier point revient à démontrer que $Id_{V} :\left(V,N \right)\longrightarrow \left(V,M\right)$, est continue.

C’est parti pour la preuve dans le bon sens !
(4) On sait que $Id_{V}:\left(V,M \right)\longrightarrow \left(V,N\right)$ est continue puisque l’identité est une application linéaire et que $N\leq M$ sur $V$(caractérisation de la continuité des applications linéaires).
D’après le théorème de l’isomorphisme de Banach, son inverse $Id_{V} :\left(V,N \right)\longrightarrow \left(V,M\right)$ est également continue. Le point (4) est vérifié.

(3) La caractérisation de la continuité des applications linéaires fournit une constante $c>0$ telle que $M\leq c N$ sur $V$, et donc
$$\forall f\in V,\quad N\left(f'\right) \leq \left(c-1\right) N\left(f\right)$$En posant $C:=c-1$ on a démontré (3).

(2) Soit $\left(f_{m}\right)_{m}\in B^{\mathbb{N}}$. Alors
$$\sup_{m\in \mathbb{N}} N\left(f_{m}'\right) \leq C \sup_{m\in \mathbb{N}} N\left(f_{m}\right) \leq C$$En vertu du théorème d’Ascoli, il existe une sous-suite $\left(f_{\varphi(m)}\right)_{m}$ qui converge vers une certaine fonction $f\in \mathcal{C}\left(\left[0;1\right],\mathbb{R}\right)$ pour la norme $N$ . Comme $V$ est fermé pour cette norme, on a en fait $f\in V$, et comme $B$ est fermé, on a aussi $f\in B$. Le point (2) est donc vérifié.

(1) Comme $B$ est compacte, le théorème de Riesz s’applique : $V$ est de dimension finie. CQFD !

On note$F$ l’espace de Banach des fonctions continues sur le segment $[0;1]$ muni de la norme infinie. $V$ est un fermé de $F$, c’est donc un Banach muni de la norme infinie.

Soit$D$ la dérivation de l’espace de Banach $V$ vers l’espace de Banach $F$. $D$ est linéaire. Soit $(f_n)$ suite d’éléments de $V$ telle que $(f_{n})$ et $(f'_{n})$ convergent respectivement dans les espaces $V,F$ vers $f,g$. En particulier $(f_{n}(0))$ converge simplement dans $\R$ muni de la topologie usuelle. Donc (théorème de dérivation relatif à la convergence uniforme) $g=f'=D(f)$ et donc le graphe de $D$ est fermé. Par le théorème du graphe fermé, $D$ est continue et donc si on note $C$ sa norme d’opérateur, on a $\forall f\in V, ||f'||_{\infty}\le C||f||_{\infty}$.

Soient $n\in \N, n\ge 1$, et $(x_{i})_{i\in [|0;n|]}, x_{0}=0<x_{1}<...<x_{n}=1$ une subdivision de $[0;1]$ de pas plus petit que $1/n$. Soit $T_n$ l’application linéaire de $V$ dans $R^{n+1}$ definie par $T_{n}(f):=(f(x_{0}),f(x_{1}),...,f(x_{n}))$. Soit $g$ dans le noyau de $T_{n}$. Soit $x$ dans $[0;1]$ et soit un indice $i$ tel que $x\in [x_{i};x_{i+1}]$ tel que $|x-x_{i}|\le 1/n$. Par inégalité triangulaire, puis par inégalité des accroissements finis on a la suite d’inégalités suivantes,
$\forall x\in [0;1], |g(x)|\le |g(x)-g(x_i)|+|g(x_i)|=|g(x)-g(x_i)|\le ||g'||_{\infty}|x-x_i| \le C||g||_{\infty}/n$ et donc en passant à la borne supérieure, on a $||g||_{\infty}\le C||g||_{\infty}/n$ pout tout élément du noyau de $T_{n}$. Soit alors $n>C$. Le noyau de $T_{n}$ est donc l’espace nul, et comme l’image de $T_{n}$ est de dimension finie (car sous espace de $\R^{{n+1}}$), on en déduit l’espace de départ de $T_{n}$, qui est $V$ est de dimension finie (ie 1 er théorème d’isomorphisme :$V/Ker T_{n}=V$ est isomorphe à $Im T_{n}$). Conclusion : $V$ est de dimension finie.