Sous-espaces de fonctions dérivables

On note$F$ l’espace de Banach des fonctions continues sur le segment $[0;1]$ muni de la norme infinie. $V$ est un fermé de $F$, c’est donc un Banach muni de la norme infinie.

Soit$D$ la dérivation de l’espace de Banach $V$ vers l’espace de Banach $F$. $D$ est linéaire. Soit $(f_n)$ suite d’éléments de $V$ telle que $(f_{n})$ et $(f'_{n})$ convergent respectivement dans les espaces $V,F$ vers $f,g$. En particulier $(f_{n}(0))$ converge simplement dans $\R$ muni de la topologie usuelle. Donc (théorème de dérivation relatif à la convergence uniforme) $g=f'=D(f)$ et donc le graphe de $D$ est fermé. Par le théorème du graphe fermé, $D$ est continue et donc si on note $C$ sa norme d’opérateur, on a $\forall f\in V, ||f'||_{\infty}\le C||f||_{\infty}$.

Soient $n\in \N, n\ge 1$, et $(x_{i})_{i\in [|0;n|]}, x_{0}=0<x_{1}<...<x_{n}=1$ une subdivision de $[0;1]$ de pas plus petit que $1/n$. Soit $T_n$ l’application linéaire de $V$ dans $R^{n+1}$ definie par $T_{n}(f):=(f(x_{0}),f(x_{1}),...,f(x_{n}))$. Soit $g$ dans le noyau de $T_{n}$. Soit $x$ dans $[0;1]$ et soit un indice $i$ tel que $x\in [x_{i};x_{i+1}]$ tel que $|x-x_{i}|\le 1/n$. Par inégalité triangulaire, puis par inégalité des accroissements finis on a la suite d’inégalités suivantes,
$\forall x\in [0;1], |g(x)|\le |g(x)-g(x_i)|+|g(x_i)|=|g(x)-g(x_i)|\le ||g'||_{\infty}|x-x_i| \le C||g||_{\infty}/n$ et donc en passant à la borne supérieure, on a $||g||_{\infty}\le C||g||_{\infty}/n$ pout tout élément du noyau de $T_{n}$. Soit alors $n>C$. Le noyau de $T_{n}$ est donc l’espace nul, et comme l’image de $T_{n}$ est de dimension finie (car sous espace de $\R^{{n+1}}$), on en déduit l’espace de départ de $T_{n}$, qui est $V$ est de dimension finie (ie 1 er théorème d’isomorphisme :$V/Ker T_{n}=V$ est isomorphe à $Im T_{n}$). Conclusion : $V$ est de dimension finie.