Suite définie par les sommes de ses puissances

Non. Raisonnement par l’absurde.
Pour $k=2$, $\sum a_n^2 = \frac{1}{4} \implies \forall n, a_n^2 \le \frac{1}{4} \implies ||a||_\infty \le \frac{1}{2}$.
Pour $k=2m$, la norme $\ell^{2m}$ de la suite vaut :
$$||a||_{2m} = \left( \sum_{n=0}^{+\infty} a_n^{2m} \right)^{\frac{1}{2m}} = \left( \frac{1}{4m^2} \right)^{\frac{1}{2m}}$$Par passage à la limite : $\lim_{m \to +\infty} ||a||_{2m} = \lim_{m \to +\infty} \exp\left(-\frac{\ln(4m^2)}{2m}\right) = 1$.
Or, dans l’espace $\ell^p$, la limite des normes est le supremum : $\lim_{m \to +\infty} ||a||_{2m} = ||a||_\infty$.
On obtient $||a||_\infty = 1$, ce qui contredit $||a||_\infty \le \frac{1}{2}$. La suite n’existe pas.