Supplémentaire dans un produit cartésien

Remarquons que comme $dim(E\times F) = dim(E) + dim(F)$, les supplémentaires de $\left\lbrace 0_{E} \right\rbrace \times F$ dans $E\times F$ sont de dimension $n:=dim(E)$. (Cette remarque s’appuie sur la dimension finie et $E$ et de $F$)

$\boxed{\subset}$
Soit $G$ un supplémentaire de $\left\lbrace 0_{E} \right\rbrace \times F$ dans $E\times F$. Soit $\mathcal{G}:=\left(g_{i}\right)_{1\leq i \leq n}$ une base de $G$. Pour tout $i$, notons $g_{i}=(u_{i},v_{i})$ avec $u_{i}\in E$ et $v_{i}\in F$.
$\hspace*{3cm}$$\underline{\text{Lemme}}$ :$\displaystyle (u_{i})_{1\leq i \leq n}$ est libre.
$\hspace*{3cm}$$\underline{\text{Preuve}}$ : Si $\lambda_{1},\cdots, \lambda_{n}$ sont des scalaires, il vient
$$\displaystyle \sum_{1\leq i \leq n}\lambda_{i}u_{i}=0_{E} \; \Longrightarrow \displaystyle \sum_{{1\leq i \leq n}} \lambda_{i}g_{i}=\underset{\in (\left\lbrace 0_{E} \right\rbrace \times F) \cap G= \left\lbrace (0_{E},0_{F})\right\rbrace}{\underbrace{\left(0_{E}\; , \; \displaystyle \sum_{1\leq i \leq n}\lambda_{i}v_{i}\right)}}\; \Longrightarrow \; \displaystyle \sum_{{1\leq i \leq n}} \lambda_{i}g_{i}=(0_{E},0_{F}) \; \underset{\text{$\mathcal{G}$ est libre car est une base}}{\underbrace{\Longrightarrow}} \; \lambda_{1}=\cdots=\lambda_{n}=0 \quad \square$$

La famille étant libre et de dimension $n=dim(E)$, c’en est une base.
Mais alors en définissant $f\in L(E,F)$ par $v_{i}:=f(u_{i})$, on obtient que $G=\left\lbrace (x,f(x)),\; x\in E \right\rbrace$ par linéarité de $f$ et structure vectorielle de $G$.

$\boxed{\supset}$
La réciproque est un peu plus claire ; voici un chemin de preuve : soit $f \in L(E,F)$ et $G:=\left\lbrace (x,f(x)),\; x\in E \right\rbrace$.
(1) Montrer que $(\left\lbrace 0_{E} \right\rbrace \times F) \cap G= \left\lbrace (0_{E},0_{F})\right\rbrace$ (utiliser le fait que$f$ est linéaire)
(2) Montrer que $dim(G)=n$ (construire une base de $G$ à partir d’une base de $E$)
(3) Conclure.

(Si besoin de détails ou d’une rédaction complète pour l’inclusion réciproque, n’hésitez pas à demander ! )