Surjectivité et composition d’applications

$\textbf{1)}$ Soit $z \in G$, montrons que $z$ admet un antécédent dans $E$ par la fonction $h$.
Par surjectivité de $g$, il existe un $y \in F$ tel que $g(y) = z$
Par surjectivité de $f$, il existe un $x\in E$ tel que $f(x) =y$
En combinant les deux égalités : $z=g(f(x))$
Par définition de $h$ comme composée : $z = h(x)$
$z$ admet $x\in E$ comme antécédent par $h$.
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$\textbf{2)}$ Soit $z \in G$, montrons que $z$ admet un antécédent dans $F$ par la fonction $g$.
Par surjectivité de $h$, il existe un $x \in E$ tel que $h(x) = z$
Par définition de $h$, $z = g(f(x))$
$z$ admet $f(x) \in F$ comme antécédent par $g$.
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$\textbf{3)}$ On prend $E = \R$, $F = \R^{*}$ et $G=\R_{+} ^{*}$ comme ensembles
et $f : x \mapsto e^{x}$ et $g : x \mapsto x^{2}$

On vérifie que les applications $f$ et $g$ sont correctement définies, c’est-à-dire que les images de ces applications est bien incluse dans leurs ensembles d’arrivée. $f$ est bien à valeurs dans $\R^{*}$ car l’exponentielle réelle ne s’annule pas. $g$ est bien à valeurs dans $\R^{*}_{+}$ car les carrés de réels non-nuls sont strictement positifs.
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$\forall x \in \R, h(x) = (e^{x})^{2} = e^{2x}$

$h$ est surjective de $E = \R$ sur $G = \R_{+} ^{*}$.
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Pourtant, on remarque que $f$ n’est pas surjective de $E$ sur $F$. En effet, l’exponentielle réelle, non seulement elle ne s’annule pas, mais elle est strictement positive, donc n’atteint pas tout $\R^{*}$.
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Si on avait pris $F = \R_{+}^{*}$ , alors toutes les trois applications auraient été surjectives. La surjectivité d’une application dépend de son ensemble d’arrivée.