Surpopulation

Rappel : tous les termes de la suite $u$ sont dans $\N$.
Rédigeons la définition de $\lim u=+\infty$ ainsi : tout intervalle réel $[A,+\infty[$ contient tous les termes de la suite $u$ sauf un nombre fini (qui sont alors dans $[0,A[$).
La négation de cette formulation est alors : il existe un intervalle réel $[0,A[$ qui contient un nombre infini de termes de la suite $u$ qui sont des entiers. Cet intervalle ne contient qu’un nombre fini d’entiers (la partie entière de $A$ pour ne pas le nommer), donc par le principe des tiroirs, il existe deux termes distincts $u_{i},u_{i'} (i<i')$ de la suite tels que $u_{i}=u_{i'}$. Posons $p=i'-i$ :

• on a $u_{i}=u_{i+p}$
• soit $j\geq i$ tel que $u_{j}=u_{j+p}$. Alors $u_{j+1}=f(u_{j})=f(u_{j+p})=u_{j+1+p}$
  Donc par récurrence : pour tout entier $j\geq i$, on a $u_{i}=u_{i+p}$, ce qui signifie par définition que $u$ est $p$-périodique à partir du rang $i$.