Surpopulation

Soit $f:\N\rightarrow\N$ , $a\in\N$ et $u$ la suite des itérés de $a$ par $f$ : $u_{0}=a$ et $\forall n\in\N,u_{n+1}=f(u_{n})$ .
Montrer que

ou bien $\lim u=+\infty$ ,
ou bien $u$ est périodique à partir d’un certain rang.

(l’infinité d’objets n’est pas dans l’énoncé, mais dans la solution...)

I solved itMark it done Add to my listKeep it in your list

I like this problem1 like

Liked by

Ancient Tree@ancient-tree

Hints

Hint 1

Open this only if you want a small nudge before looking at the solutions.

Solutions

Reveal solutionsAre you sure? Give it a try first.

Solution by budleya

Discussions0 useful votes

Rappel : tous les termes de la suite $u$ sont dans $\N$ .
Rédigeons la définition de $\lim u=+\infty$ ainsi : tout intervalle réel $[A,+\infty[$ contient tous les termes de la suite $u$ sauf un nombre fini (qui sont alors dans $[0,A[$ ).
La négation de cette formulation est alors : il existe un intervalle réel $[0,A[$ qui contient un nombre infini de termes de la suite $u$ qui sont des entiers. Cet intervalle ne contient qu’un nombre fini d’entiers (la partie entière de $A$ pour ne pas le nommer), donc par le principe des tiroirs, il existe deux termes distincts $u_{i},u_{i'} (i<i')$ de la suite tels que $u_{i}=u_{i'}$ . Posons $p=i'-i$ :

on a $u_{i}=u_{i+p}$
soit $j\geq i$ tel que $u_{j}=u_{j+p}$ . Alors $u_{j+1}=f(u_{j})=f(u_{j+p})=u_{j+1+p}$
Donc par récurrence : pour tout entier $j\geq i$ , on a $u_{i}=u_{i+p}$ , ce qui signifie par définition que $u$ est $p$ -périodique à partir du rang $i$ .

Report