Ivan Shishkin, Rye (1878)

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Théorème de Darboux

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Solution by Venus2 · FR

  1. On se ramène à la situation suivante : soient a,b∈I,a<ba,b\in I, a<b tels que f′(a)<0<f′(b)f'(a)<0<f'(b) alors f′f' s’annule sur ]a;b[]a;b[ (il suffit de considérer g:f−txf-tx où f′(a)<t<f′(b)f'(a)<t<f'(b)...ou −g-g).
  2. Supposons que f′f' ne s’annule pas sur I:=[a;b]I:=[a;b] (H). Alors, par le théorème de Rolle, ff est injective sur II. Comme par ailleurs, ff est continue, ff est donc strictement monotone sur II et donc f′f' est de signe constant sur II ce qui contredit f′(a)<0<f′(b)f'(a)<0<f'(b). Conclusion : l’hypothèse (H) est fausse, doncf′f' s’annule sur II, donc f′f' s’annule sur ]a;b[]a;b[ ce qui conclut.

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