Toute rotation infinitésimale est un produit vectoriel

Posons $A=(a_{ij})$ et $u=(u_1,u_2,u_3)^{\top}$. La condition d’orthogonalité s’écrit
$$\langle Au,u\rangle=0.$$En l’appliquant à $u_i=\delta_{ik}$, on obtient $a_{kk}=0$. En l’appliquant à $u_i=\delta_{ik}+\delta_{im}$, on obtient
$$a_{kk}+a_{km}+a_{mk}+a_{mm}=0,$$d’où $a_{km}=-a_{mk}$.

Posons $v_1=-a_{23}$, $v_2=a_{13}$, $v_3=-a_{12}$. Alors
$$Au=\bigl(v_2u_3-v_3u_2,\ v_3u_1-v_1u_3,\ v_1u_2-v_2u_1\bigr)^{\top}=v\wedge u.$$