un bel encadrement

$p$ parcourt les nombres premiers ;
$k$ parcourt les entiers $\geqslant 1$ ;

Montrez que pour $n$ entier $\geqslant 2$ :

$\displaystyle \sum_{1\leqslant k\leqslant n}\ln(k)=\sum_{2\leqslant p \leqslant n}\frac{\ln(p)}{p-1}(n-B_{p}(n))$

où $B_{p}(n)$ est la somme des chiffres du nombre $n$ écrit en base $p$ .

En déduire que:

$\displaystyle (n-1)\sum_{2\leqslant p \leqslant n}\frac{\ln(p)}{p-1}-\pi(n)\ln(n)\leqslant \sum_{1\leqslant k\leqslant n}\ln(k)\leqslant(n-1)\sum_{2\leqslant p \leqslant n}\frac{\ln(p)}{p-1}$

où $\pi(n)$ est la fonction de comptage des nombres premiers $\leqslant n$.