Ivan Shishkin, Rye (1878)

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Un calcul d’intégrale impropre

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À l’aide d’un DL1DL_1 en 00 de l’exponentielle, on a 1sh⁡(x)=1x+o(1x)∼1x\dfrac{1}{\sh(\sqrt{x})}=\dfrac{1}{\sqrt{x}}+o\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)\sim\dfrac{1}{\sqrt{x}} qui est positif et intégrable d’après le critère de Riemann. Donc x↦1sh⁡(x)x\mapsto \dfrac{1}{\sh(\sqrt{x})} est intégrable au voisinage de 0.0. Par ailleurs, on a 1sh⁡(x)∼+∞e−x\dfrac{1}{\sh(\sqrt{x})}\underset{+\infty}{\sim}e^{-x} qui est intégrable. Donc ∫0+∞1sh⁡(x) dx\displaystyle\int_0^{+\infty}\dfrac{1}{\sh(\sqrt{x})}\,dx existe.

On commence par poser le changement de variable u=x,u=\sqrt{x}, donc 2udu=dx2udu=dx, ce qui donne en rappelant que ∀∣t∣<1,11−t=∑n=0+∞tn\forall \left|t\right|<1, \dfrac{1}{1-t}=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}t^n
∫0+∞1sh⁡(x) dx=2∫0+∞ush⁡(u) du=2∫0+∞ueu11−e−2u du=2∫0+∞u∑n=0+∞e−u(2n+1) du=2∑n=0+∞∫0+∞ue−u(2n+1) du.\int_0^{+\infty}\dfrac{1}{\sh(\sqrt{x})}\,dx=2\int_0^{+\infty}\dfrac{u}{\sh(u)}\,du=2\int_0^{+\infty}\dfrac{u}{e^u}\dfrac{1}{1-e^{-2u}}\,du=2\int_0^{+\infty}u\sum_{n=0}^{+\infty}e^{-u(2n+1)}\,du=2\sum_{n=0}^{+\infty}\int_0^{+\infty}ue^{-u(2n+1)}\,du.
L'inversion série-intégrale étant immédiate car toutes les quantités sont positives. On a pour a>0a>0, en intégrant par partie en dérivant uu,
∫0+∞ue−au du=[−ue−aua]0+∞+1a∫0+∞e−au du=1a2.\int_0^{+\infty}ue^{-au}\,du=\left[\dfrac{-ue^{-au}}{a}\right]_0^{+\infty}+\dfrac{1}{a}\int_0^{+\infty}e^{-au}\,du=\dfrac{1}{a^2}.
Donc 
∫0+∞1sh⁡(x) dx=2∑n=0+∞1(2n+1)2.\int_0^{+\infty}\dfrac{1}{\sh(\sqrt{x})}\,dx=2\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{1}{(2n+1)^2}.
Pour mener à bien ce calcul on rappelle que ∑n=1+∞1n2=π26\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2}=\dfrac{\pi^2}{6}. Puisqu'on a affaire à une série absolument convergente, elle est sommable et on peut donc sommer par paquets pairs et impairs :
∑n=1+∞1n2=∑n=1+∞1(2n)2+∑n=0+∞1(2n+1)2=14∑n=1+∞1n2+∑n=0+∞1(2n+1)2\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n^2}=\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{(2n)^2}+\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{1}{(2n+1)^2}=\dfrac{1}{4}\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n^2}+\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{1}{(2n+1)^2}
donc ∑n=0+∞1(2n+1)2=34∑n=1+∞1n2=π28.\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{1}{(2n+1)^2}=\dfrac{3}{4}\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n^2}=\dfrac{\pi^2}{8}. Enfin, on a
∫0+∞1sh⁡(x) dx=π24.\int_0^{+\infty}\dfrac{1}{\sh(\sqrt{x})}\,dx=\dfrac{\pi^2}{4}.

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