Un calcul d’intégrale impropre

À l’aide d’un $DL_1$ en $0$ de l’exponentielle, on a $\dfrac{1}{\sh(\sqrt{x})}=\dfrac{1}{\sqrt{x}}+o\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)\sim\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ qui est positif et intégrable d’après le critère de Riemann. Donc $x\mapsto \dfrac{1}{\sh(\sqrt{x})}$ est intégrable au voisinage de $0.$ Par ailleurs, on a $\dfrac{1}{\sh(\sqrt{x})}\underset{+\infty}{\sim}e^{-x}$ qui est intégrable. Donc $\displaystyle\int_0^{+\infty}\dfrac{1}{\sh(\sqrt{x})}\,dx$ existe.

On commence par poser le changement de variable $u=\sqrt{x},$ donc $2udu=dx$, ce qui donne en rappelant que $\forall \left|t\right|<1, \dfrac{1}{1-t}=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}t^n$
$$\int_0^{+\infty}\dfrac{1}{\sh(\sqrt{x})}\,dx=2\int_0^{+\infty}\dfrac{u}{\sh(u)}\,du=2\int_0^{+\infty}\dfrac{u}{e^u}\dfrac{1}{1-e^{-2u}}\,du=2\int_0^{+\infty}u\sum_{n=0}^{+\infty}e^{-u(2n+1)}\,du=2\sum_{n=0}^{+\infty}\int_0^{+\infty}ue^{-u(2n+1)}\,du.$$L’inversion série-intégrale étant immédiate car toutes les quantités sont positives. On a pour $a>0$, en intégrant par partie en dérivant $u$,
$$\int_0^{+\infty}ue^{-au}\,du=\left[\dfrac{-ue^{-au}}{a}\right]_0^{+\infty}+\dfrac{1}{a}\int_0^{+\infty}e^{-au}\,du=\dfrac{1}{a^2}.$$Donc
$$\int_0^{+\infty}\dfrac{1}{\sh(\sqrt{x})}\,dx=2\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{1}{(2n+1)^2}.$$Pour mener à bien ce calcul on rappelle que $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2}=\dfrac{\pi^2}{6}$. Puisqu’on a affaire à une série absolument convergente, elle est sommable et on peut donc sommer par paquets pairs et impairs :
$$\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n^2}=\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{(2n)^2}+\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{1}{(2n+1)^2}=\dfrac{1}{4}\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n^2}+\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{1}{(2n+1)^2}$$donc $\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{1}{(2n+1)^2}=\dfrac{3}{4}\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n^2}=\dfrac{\pi^2}{8}.$ Enfin, on a
$$\int_0^{+\infty}\dfrac{1}{\sh(\sqrt{x})}\,dx=\dfrac{\pi^2}{4}.$$