Un équivalent naturel des plus compliqués

$\hookrightarrow$ L’intégrale est positive donc $x_{n+1}\geqslant x_n$ et ainsi notre suite est croissante et admet donc une limite. Supposons qu’elle converge vers $l\in\R$, alors en passant à la limite dans l’équation on trouve $l=l+\int_l^{+\infty}e^{-x^2}\,\mathrm{d}x$, ce qui est absurde car l’intégrale est strictement positive. Ainsi $(x_n)_n$ tend vers $+\infty$.

$\hookrightarrow$ On réécrit l’intégrale en changeant $x^2$ en $t$, ce qui donne $\displaystyle\int_{x_n^2}^{+\infty}\frac{e^{-t}}{2\sqrt{t}}\,\mathrm{d}t$. Pour trouver un équivalent de cette intégrale, on note que la dérivée de l’intégrande est $\frac12 e^{-t}\left(-\frac{1}{\sqrt{t}}-\frac{1}{2t^{3/2}}\right)$ qui équivaut donc à l’opposé de $\frac{e^{-t}}{\sqrt{t}}$, soit notre intégrande. On peut alors appliquer le critère d’équivalents sous le signe intégral pour les intégrales convergentes et conclure que
$$x_{n+1}-x_n=\displaystyle\int_{x_n^2}^{+\infty}\frac{e^{-t}}{2\sqrt{t}}\,\mathrm{d}t\underset{n\to+\infty}{\sim}\displaystyle\int_{x_n^2}^{+\infty}\left(-\frac{e^{-t}}{2\sqrt{t}}\right)'\,\mathrm{d}t=\frac{e^{-x_n^2}}{2x_n}$$$\hookrightarrow$ On applique la méthode d'approximation par équation différentielle afin d’intuiter qu’il faut poser $y_n:=e^{x_{n+1}^2}-e^{x_n^2}$. En détaillant le calcul de la limite de $(y_n)_n$, on trouve:
$$y_n=e^{x_n^2}\left(\exp\left[\left(\frac{e^{-x_n^2}}{2x_n}+o\left(\frac{e^{-x_n^2}}{x_n}\right)\right)\cdot(x_{n+1}+x_n)\right]-1\right)\underset{n\to+\infty}{\longrightarrow}1$$$\hookrightarrow$ Il ne reste plus qu’à appliquer le théorème de Cesaro pour en déduire que
$$\frac{e^{x_n^2}-e^{x_0^2}}{n}=\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} y_k\underset{n\to+\infty}{\longrightarrow}1$$Et ainsi on peut négliger $e^{x_0^2}$ et trouver que $e^{x_n^2}\sim n$. Les équivalents passent au log car les deux côtés tendent vers l’infini et on conclut finalement que
$$\boxed{x_n\underset{n\to+\infty}{\sim}\sqrt{\ln(n)}}$$