Ivan Shishkin, Rye (1878)

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Des exemples du théorème des restes chinois ?

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Solution

Solution by Ancient Tree · FR

  1. Pour que deux groupes soient isomorphes, il faut déjà qu’ils aient le même ordre (c’est-à-dire le même nombre d’éléments) ! Or, Z/5Z\Z/5\Z a 5 éléments, tandis que Z/2Z×Z/3Z\Z/ 2\Z \times \Z/3\Z a 2×3=62\times 3=6 éléments, donc ces deux groupes ne peuvent pas être isomorphes.

  2. D’après le théorème des restes chinois, comme 22 et 33 sont premiers entre eux, on a bien l’isomorphisme entre les deux groupes.

  3. D’après le théorème des restes chinois, comme 22 et 22 ne sont pas premiers entre eux, on n’a pas l’isomorphisme entre les deux groupes.

(Remarque : comme il a été discuté dans les discussions de cette solution, il peut être plus directe de montrer que l’isomorphisme n’a pas lieu en disant que Z/4Z\Z/4\Z est cyclique, tandis que Z/2Z×Z/2Z\Z/2\Z\times \Z/2\Z ne l’est pas).

FiniteFieldbyFR

Salut ! L’argument utilisé dans la question 3 me paraît un peu tiré par les cheveux. Si un théorème qui annonce un isomorphisme ne s’applique pas ça ne signifie pas qu’on ne peut pas avoir un isomorphisme par ailleurs. À moins de faire référence à une version du théorème qui annonce qu’il existe un isomorphisme si et seulement si on a des entiers premiers entre eux mais ça ne me semble pas être une présentation habituelle du théorème.
Peut-être qu’un argument plus simple comme le fait que Z/4Z\mathbb{Z}/4\mathbb{Z} contient un élément d’ordre 44 / est cyclique mais pas (Z/2Z)2(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^{2} serait plus simple ?

Ancient TreebyFR

C’est une bonne remarque. En fait, le théorème des restes chinois admet plusieurs versions, et celle que j’illustre ici est la version moderne / abstraite qui est bien une équivalence. Il serait bon de creuser les différentes versions, et éventuellement créer différentes pages pour ces différents résultats...