Un groupe isomorphe à ses sous-groupes non triviaux

Pour tout $k \in \mathbb{N}^{*}$, l’application $\varphi_{k} : n \in \mathbb{Z} \mapsto kn \in k\mathbb{Z}$ est un isomorphisme de groupe. Les sous-groupes non triviaux de $(\mathbb{Z},+)$ sont exactement les images des $\varphi_{k}$, ce qui conclut.