Un groupe isomorphe à ses sous-groupes non triviaux

Trouver un groupe non trivial qui soit isomorphe à chacun de ses sous-groupes non triviaux.

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Pour tout $k \in \mathbb{N}^{*}$ , l’application $\varphi_{k} : n \in \mathbb{Z} \mapsto kn \in k\mathbb{Z}$ est un isomorphisme de groupe. Les sous-groupes non triviaux de $(\mathbb{Z},+)$ sont exactement les images des $\varphi_{k}$ , ce qui conclut.

Solution by Hugues Hott

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On peut directement les caractériser. On suppose G non trivial, soit donc $g$ un élément non trivial de $G$ , alors $G \simeq \langle g \rangle$ , d’où $G$ est monogène.

S’il est infini, alors $G \simeq \mathbb Z$ , et un tel groupe vérifie bien la propriété.

S’il est fini, alors $G$ est cyclique d’ordre $n$ , et pour $n$ non premier, on peut facilement y exhiber un élément non trivial d’ordre strictement plus petit que $n$ , d’où $n$ est premier et un tel groupe convient, l’ensemble de ses sous-groupes propres non triviaux est par conséquent vide.

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