Un groupe isomorphe à ses sous-groupes non triviaux

On peut directement les caractériser. On suppose G non trivial, soit donc $g$ un élément non trivial de $G$, alors $G \simeq \langle g \rangle$, d’où $G$ est monogène.

S’il est infini, alors $G \simeq \mathbb Z$, et un tel groupe vérifie bien la propriété.

S’il est fini, alors $G$ est cyclique d’ordre $n$, et pour $n$ non premier, on peut facilement y exhiber un élément non trivial d’ordre strictement plus petit que $n$, d’où $n$ est premier et un tel groupe convient, l’ensemble de ses sous-groupes propres non triviaux est par conséquent vide.