Un lemme algébrique sur les formes linéaires

On peut supposer que $\psi$ est non nulle. Supposons que $n = 1$. Si $\ker(\phi_{1}) \subset \ker(\psi)$, alors $\ker(\phi_{1}) = \ker(\psi)$. Soit $v \in V$ tel que $V = \ker(\psi) \oplus \mathbb{K}v$. Pour tout $x \in V$, il existe un unique scalaire $\lambda$ et un unique élément $w \in \ker(\psi)$ tels que $x = \lambda v + w$. Ainsi, $\psi(x) = \lambda \psi(v)$, et $\phi_{1}(x) = \lambda \phi_{1}(v)$. Comme $\psi$ n’est pas nulle $\phi_{1}$ n’est pas nulle non plus, et $\phi_{1}(v) \neq 0$, et ainsi $\psi(x) = \frac{\psi(v)}{\phi_{1}(v)}\phi_{1}(x)$, d’où que $\psi$ et $\phi_{1}$ sont liées.

Soit $n$ tel que le résultat est montré pour toute famille de $n$ formes linéaires. Montrons que le résultat tient pour une famille de $n+1$ éléments. Si $\ker(\psi) = \ker(\phi_{n+1})$, il n’y a rien à démontrer (à cause du point précédent). Sinon, pour $1 \leq i \leq n$, on pose $\theta_{i} \stackrel{\mathrm{def}}{=} (\phi_{i})_{|\ker(\phi_{n+1})}$, et $\psi' = \psi_{|\ker(\phi_{n+1})}$. Puisque $\bigcap_{1 \leq i \leq n} \ker(\theta_{i}) \subset \ker(\psi')$, on déduit qu’il existe des scalaires $(\lambda_{1},\,...\,,\,\lambda_{n})$ tels que $\psi' = \sum_{i = 1}^{n} \lambda_{i}\theta_{i}$. Soit $v \in V$ tel que $V= \ker(\phi_{n+1}) \oplus \mathbb{K}v$. Pour tout $x \in V$, il existe un unique scalaire $\lambda$ et un unique élément $w \in \ker(\phi_{n+1})$ tels que $x = \lambda v + w$. Ainsi, on déduit que $\psi(x) = \lambda \psi(v) + \psi(w) = \lambda \psi(v) + \sum_{i = 1}^{n} \lambda_{i} \phi_{i}(w)$. Comme $\phi_{n+1}(x) = \lambda \phi_{n+1}(v)$ et que $\phi_{n+1}(v) \neq 0$, on a $\lambda = \phi_{n+1}(x)/\phi_{n+1}(v)$. Ainsi,

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\psi(x) = \phi_{n+1}(x) \frac{\psi(v)}{\phi_{n+1}(v)} + \sum_{i = 1}^{n} \lambda_{i} \phi_{i}(w) = \phi_{n+1}(x) \frac{\psi(v)}{\phi_{n+1}(v)} + \sum_{i = 1}^{n} \lambda_{i} \phi_{i}(x) - \sum_{i = 1}^{n} \lambda_{i} \lambda\phi_{i}(v)$,

et comme $\lambda_{i} \lambda \phi_{i}(v) = \phi_{n+1}(x)\frac{\lambda_{i} \phi_{i}(v)}{\phi_{n+1}(v)}$, on déduit que

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\psi(x) = \phi_{n+1}(x)\big( \frac{\psi(v)}{\phi_{n+1}(v)}-\sum_{i = 1}^{n} \frac{\lambda_{i}\phi_{i}(v)}{\phi_{n+1}(v)}\big) + \sum_{i = 1}^{n}\lambda_{i} \phi_{i}(x)$.

Ceci montre le résultat pour l’étape $n+1$.