Un lemme algébrique sur les formes linéaires

on rédige la preuve en deux temps pour des raisons de complexité due à l’eventuelle dimension infinie.
Cas V de dimension finie
soit $E:=vect(\phi_1,\phi_2,...\phi_n)$
On a $E^{\perp}=\cap Ker\phi_{k}$ et l’hypothèse donne, $\forall x\in E^{\perp}, \psi(x)=0$ d’où $\psi \in E^{\perp\perp}=E$ ce qui achève la preuve.

Cas $V^{*}$ de dimension quelconque
ce qui a fait fonctionner la preuve précédente est l’égalité $E^{\perp\perp}=E$ et dans cette preuve on avait $E$ sous-espace vectoriel de dimension finie de $V^{*}$. Il suffit alors de prouver que cette égalité est toujours vraie si $E$ est de dimension finie, en particulier si $V^{*}$ est de dimension infinie.

Lemme. Si $\dim E<+\infty$ alors $E^{\perp\perp}=E$ où $E$ est un sous-espace vectoriel de dimension finie d’un espace vectoriel $V$. L’inclusion $E\subset E^{\perp\perp}$ est claire. Supposons que l’inclusion inverse n’est pas satisfaite et soit alors un élément $y$ de $E^{\perp\perp}$ qui n’est pas dans $E$. Soit $B:=\{x_{1},x_{2},...,x_{n}\}$ une base de $E$. Alors $B\cup \{y\}$ est une base de $E+ vect(y)$. Montrons qu’il existe une forme linéaire $f$ qui sépare les points ainsi : $\forall i, f(x_{i})=0, f(y)=1$ (1). Soit T l’application linéaire définie de $V^{*}$ dans $K^{n+1}$ par $T(\phi):=(\phi(x_{1}),...,\phi(x_{n}), \phi(y))$. Montrons que $T$ est surjective. Supposons le contraire. Alors il existe un hyperplan $H$ de $K^{n+1}$ qui contient l’image de $T$, et donc il existe des scalaires $a_{i}$ tels que quel que soit $\phi\in V^{*}, a_1\phi(x_1)+...+a_n\phi(x_n)+a_0\phi(y)=0$ ce qui signifie que $z:=a_{0}y+\sum_{i}a_{i}x_{i}$ est orthogonal à tout vecteur de $V^{*}$, donc $z$ est le vecteur nul, mais alors celà contredit la liberté de la famille $B\cup \{y\}$. conclusion $T$ est surjective, ce qui donne alors la séparation telle que formulée par (1). Les conditions $f(x_{i})=0$ signifient que $f$ est dans $E^{\perp}$, et la condition $f(y)=1$ entraîne alors que $y$ n’est pas dans $E^{\perp\perp}$ ce qui contredit que $y$ est dans $E^{\perp\perp}$. on a donc l’inclusion inverse. En utilisant ce lemme à l’espace $V^{*}$ on peut reproduire la preuve rédigée plus haut en dimension finie.

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