Un nombre écrit de manière trop compliquée.

Pour simplifier les prochaines expressions, on pose : $a=\sqrt [3] {20+14\sqrt 2} + \sqrt [3] {20-14\sqrt 2}$.

Remarquons tout d’abord que $a \in \R$.

De plus, $a^{3}-6a-40 = 0$. Donc, $a$ est une racine du polynôme $P(X)=X^{3}-6X-40$, qui admet comme racine évidente $4$.

On pose $\tilde{P} : \R \longrightarrow \R$ la fonction polynomiale associée à $P$ et $\forall x \in \R, \tilde {P'} (x) = 3X^{2}-6$. Cela nous permet de déduire les variations de la $\tilde P$ et de montrer qu’elle ne s’annule qu’une seule fois sur $\R$.

On en déduit que $a=4$.

Avec les notations de la solution précédente, on peut aussi factoriser $X^{3}-6X-40=(X-4)(X^{2}+4X+10)$ et les racines $-2\pm i\sqrt6$ du trinôme ne sont pas réelles. Or $a$ est réel, donc $a=4$.