Polynôme caractéristique d’une matrice d’intérieur nul

Les $n-1$ dernières lignes de la matrice sont proportionnelles, donc la matrice est de rang au plus $2$.
On peut ainsi écrire son polynôme caractéristique sous la forme $\chi_{A_n}=X^{n-2}(X-\lambda)(X-\mu)$ car la multiplicité de $0$ est plus grande que la dimension de l’espace propre $\mathrm{Ker}(A_n-0\,I_n)$.

On rappelle que la trace de la matrice (complexe donc trigonalisable) est donnée par la somme des valeurs propres, soit ici $\lambda+\mu+0=a_1$.

Pour trouver une autre équation, on va regarder la trace du carré de $A_n$, soit la somme des carrés des valeurs propres de $A_n$.
Or $A_n^2=\begin{pmatrix} \sum_{i=1}^n a_i^2 & & &* \\ & a_2^2 && \\ & & \ddots & \\* & & & a_n^2\end{pmatrix}$ où on n’a écrit que les coefficients de la diagonale car ce sont eux qui nous intéresse. On trouve alors $\lambda^2+\mu^2=a_1^2+2\sum_{i=2}^n a_i^2$.

On peut réécrire ce système sous la forme $\lambda+\mu=a_1$ et $\lambda\mu=\frac{(\lambda+\mu)^2-\lambda^2-\mu^2}{2}=-\sum_{i=2}^na_i^2$.
Ainsi $\lambda$ et $\mu$ sont les racines du polynôme
$$(X-\lambda)(X-\mu)=X^2-a_1X-\sum_{i=2}^na_i^2.$$D’où
$$\boxed{\chi_{A_n}=X^{n-2}\left(X^2-a_1X-\sum_{i=2}^n a_i^2\right)}$$