un polynôme complexe

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Montrez que pour $x$ réel $\in[0;1]$ et $n$ entier $\geqslant 1$

$\displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{k^{k}(xe^{-x})^{k}}{k^{n}k!}$ est un polynôme en $x$ de degré $n$

et plus précisément que :

$\displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{k^{k}(xe^{-x})^{k}}{k^{n}k!}=\sum_{k=1}^{n}\frac{x^{k}}{(k-1)!}\sum_{j=0}^{k-1}(-1)^{j}\binom{k-1}{j}(k-j)^{k-1-n}$

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