Un polynôme de matrice

soit le polynôme $P:=X^4+X^3+X^2+X+1$ de sorte que S vérifie $SP(S)=0$ On verifie l’identité $P=A^{2}+3/4.B^{2}+2/3$ où $A=X^{2}+1/2X, B=X+2/3$. comme A, B sont dans $\R[X]$, A(S) et B(S) sont alors symétriques réelles donc $A^{2}(S), B^{2}(S)$ symétriques réelles positives puis $P(S)$ symétrique réelle définie positive donc en particulier inversible. Ainsi comme $S$ vérifie $SP(S)=0$ on en deduit que $S=0$