Un polynôme de matrice

$\textbf{1)}$ $M$ est symétrique réelle donc diagonalisable dans $\mathbb{R}$ d’après le théorème spectral. Les valeurs propres de $M$ sont toutes réelles.
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$\textbf{2)}$ $X^{5} + X^{4} + X^{3} + X^{2} + X$ est un polynôme annulateur de $M$.
L’ensemble des valeurs propres de $M$ est inclus dans l’ensemble des racines de ce polynôme annulateur, ce qui signifie que $\lambda^{5} + \lambda^{4} + \lambda^{3} + \lambda^{2}+ \lambda = 0$
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Cherchons les racines de ce polynôme

$X^{5} + X^{4} + X^{3} + X^{2} + X = X(X^{4} + X^{3} + X^{2} + X + 1)$

L’ensemble des racines du polynôme $X^{4} + X^{3} + X^{2} + X + 1$ est $\mathbb{U}_{5} \setminus \{1\}$ (l’ensemble des racines $5$-ème de l’unité privé de $1$)
En effet $\forall z \in \mathbb{C} \setminus \{1\}, z^{4} + z^{3} + z^{2} + z + 1 = \frac{z^{5} - 1}{z - 1}$
ainsi $\forall z \in \mathbb{C} \setminus \{1\}, z^{4} + z^{3} + z^{2} + z + 1 = 0 \Leftrightarrow z^{5} = 1 \Leftrightarrow z \in \mathbb{U}_{5}$
et $1$ n’est pas racine de $X^{4}+ X^{3} + X^{2} + X + 1$
(Plus généralement pour tout $k \in \mathbb{N}^{*}$, les racines de $\sum_{j=0} ^{k} X^{j}$ sont exactement les éléments de $\mathbb{U}_{k+1} \setminus \{1\}$ )

Ainsi les racines de $X^{5} + X^{4} + X^{3} + X^{2} + X$ sont $\{0\} \cup (\mathbb{U}_{5} \setminus \{1\})$
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L’ensemble $\mathbb{U}_{5} \setminus \{1\}$ ne contient aucun réel. Les seuls réels de $\mathbb{U}$ sont $-1$ et $1$ or $-1 \notin \mathbb{U}_{5}$ car $(-1)^{5} = -1 \ne 1$ et$1\notin \mathbb{U}_{5} \setminus\{1\}$

Ainsi la seule valeur possible pour $\lambda$ est $0$.
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$M$ a pour seule valeur propre $0$.
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$\textbf{3)}$ Mais comme $M$ est diagonalisable (cf. question précédente), $M$ est semblable à la matrice diagonale avec que des coefficients $0$ sur la diagonale ($0$ est l’unique valeur propre de $M$), c’est-à-dire que $M$ est semblable à la matrice nulle (qui est une matrice scalaire), donc $M$ est égale à la matrice nulle. (Détails : $M = P^{-1} 0 P = 0$)

soit le polynôme $P:=X^4+X^3+X^2+X+1$ de sorte que S vérifie $SP(S)=0$ On verifie l’identité $P=A^{2}+3/4.B^{2}+2/3$ où $A=X^{2}+1/2X, B=X+2/3$. comme A, B sont dans $\R[X]$, A(S) et B(S) sont alors symétriques réelles donc $A^{2}(S), B^{2}(S)$ symétriques réelles positives puis $P(S)$ symétrique réelle définie positive donc en particulier inversible. Ainsi comme $S$ vérifie $SP(S)=0$ on en deduit que $S=0$