Un problème à 1 000 000 $

Pour $m$ entier $\geqslant 1$ et pour $x\in \mathbb{C}$,

on note : $\displaystyle S_{m}(x)=\sum_{k=1}^{m}\frac{(-1)^{k-1}}{k^{x}}\frac{m!^{2}}{(m-k)!(m+k)!}$

1. Montrez que :

a) $\displaystyle S_{m}(0)=\frac{1}{2}$

b) $\displaystyle S_{m}(-1)=\frac{1}{4}\left(1+\frac{1}{2m-1}\right)$

c) $\displaystyle S_{m}(x)= S_{m+1}(x)-\frac{1}{(m+1)^{2}}S_{m+1}(x-2)$

d) $\displaystyle S_{m}(1)=H_{2m}-H_{m}$ où $\displaystyle H_{m}=\sum_{k=1}^{m}\frac{1}{k}$

2. Montrez que :

$\displaystyle\lim_{m \to +\infty} S_{m}(x)=\lim_{y \to x}\zeta(y)\left(1-\frac{1}{2^{y-1}}\right)$

3. Montrez que :

$S_{m}(x)$ a des zéros triviaux en $x=-2k$ pour $k$ entier $1\leqslant k< m$

4. Exprimez en fonction de $m$ les zéros non triviaux de $S_{m}(x)$
   et montrez que, lorsque $m$ tend vers $+\infty$, leur partie réelle tend vers $1$ ou $\displaystyle\frac{1}{2}$

5. sachant que $\zeta(x)$ ne s’annule pas sur la droite $x=1$ en déduire que les zéros non triviaux de $\zeta(x)$ se situent sur la droite $\displaystyle x=\frac{1}{2}$