Un résultat renversant

Notons $B:=A-A^{-1}$, $F$ la somme directe des sous espaces propres (réels) de $A$ et $G$ la somme directe des sous espaces propres (réels) de $B$.
Remarquons que $G$ peut s’écrire comme somme directe pour $t$ parcourant $\R$ des sous espaces $\ker(B-tI_{n})$. En effet, tous les espaces dans une telle somme sont nuls sauf peut-être un nombre fini.

1. Si $t$ est dans le spectre de $A$ (donc non nul puisque $A$ est inversible) il existe un vecteur $X$ non nul tel que $AX=tX$, d’où $A^{-1}X=1/tX$ et donc $BX=(t-1/t)X$ et donc $X$ est vecteur propre de B et en particulier est dans la somme directe des sous espaces propres de B. Comme ceci est vrai pour tout $t$ dans le spectre de $A$ et tout vecteur propre correspondant, on vient de prouver que $F\subset G$
2. si $t$ est dans le spectre de $B$, il existe un vecteur $X$ non nul tel que $BX=tX$ d’où $ABX=tAX$ soit $(A^{2}-tA-I_{n})X=0$. (1) Le polynôme réel $P:=X^2-tX-1$ a un discriminant strictement supérieur à zéro, donc possède deux racines réelles distinctes et donc, par le lemme des noyaux, (1) donne que$X$ est dans la somme directe des sous espaces propres de $A$. Finalement $G\subset F$.
3. D’après 1) et 2) on a alors $F=G$
4. Si $A$ est diagonalisable alors $F=\R^{n}$ et donc d’après 3), $G=\R^{n}$ ce qui signifie, par définition, que $B$ est diagonalisable.
   Même chaîne d’arguments si $B$ est diagonalisable. Conclusion $A$ est diagonalisable ssi $B$ est diagonalisable.