Un segment prolongé et une égalité d’aires singulière

Une autre solution, plus algèbrique, et moins dans l’esprit d’Euclide (qui ne raisonnait jamais en termes numériques), en raisonnant seulement sur les longueurs :
on doit montrer que
$$CB^{2}+AD\times BD=CD^{2}.$$Mais, comme $C,B$ et $D$ sont alignés, on a que $CD=CB+BD$. On a donc :
$$CD^{2}=(CB+BD)^{2}=CB^{2}+2CB\times BD+BD^{2}.$$En factorisant par $BD$ :
$$CD^{2}=CB^{2}+(2CB+BD)\times BD.$$Etudions ce terme entre parenthèses, $2CB+BD$. Miracle : comme $C$ est le milieu de $[AB]$, on a
$$2CB+BD=AC+CB+BD=AD$$d’où on obtient
$$CD^{2}=CB^{2}+AD\times BD,$$la formule annoncée !