Un supplémentaire commun

Voici une solution de la dualité. On note $n$ la dimension de $E$. On écrit ensuite $r = n-p$, où $1\leq p \leq n-1$ (en effet si $p = 0$ ou $p=n$, il n’y a rien à démonter). On suppose aussi que $A \neq B$.
Montrons d’abord le cas où $p=1$. Dans cette situation, $A$ et $B$ sont des hyperplans, il existe donc des formes linéaires $\alpha$, $\beta$ telles que $A = \ker(\alpha)$ et $B = \ker(\beta)$. Comme $A\neq B$, il existe deux vecteurs $x,y$ tels que $x \in A\setminus B$ et $y \in B\setminus A$. Ainsi, le vecteur $x+y$ engendre une droite supplémentaire de $A$ et de $B$ simultanément, puisque $\alpha(x+y) \neq 0 \neq \beta(x+y)$.

Supposons le résultat connu pour $p$. Montrons qu’il est vrai pour $p+1$. Puisque $A$ et $B$ sont contenus dans des hyperplans dinstincts $H_{A}$ et $H_{B}$, respectivement, il existe des formes linéaires $\alpha$ et $\beta$ telles que $\ker(\alpha) = H_{A}$ et $\ker(\beta) = H_{B}$. Par la résolution du cas $p=1$, il existe un supplémentaire commun à $H_{A}$ et à $H_{B}$ qu’on note $\Delta$. On note ensuite $A' = A \oplus \Delta$ et $B' = B \oplus \Delta$. Comme par hypothèse de récurrence, il existe un supplémentaire commun à $A'$ er à $B'$, qu’on note $C$. Dans ce cas, $C \oplus \Delta$ est un supplémentaire commun de $A$ et se $B$. Ceci achève la preuve.