Un supplémentaire commun

Preuve utilisant le théorème de la base incomplète.
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Soit $C:=A\cap B$, qui est sous espace vectoriel de $A$ et de $B$, et soit $b_C$ une base de $C$. D’après le théorème de la base incomplète, on peut complèter $b_C$ en une base $b_{A}=b_{C}\sqcup X$ de $A$ et $b_{B}=b_{C}\sqcup Y$ de $B$. Alors $b_{C}\sqcup X \sqcup Y$ est une base de $A+B$ et, par le théorème de la base incomplète, on peut la compléter en une base $b_{C}\sqcup X \sqcup Y \sqcup Z$ de $E$. (1)

Comme $A$ et $B$ ont même dimension les cardinaux de leurs bases respectives sont égaux d’où l’on déduit que $|X|=|Y|=:p$. Notons alors $X=(x_{1}, x_{2},...,x_{p})$ et $Y=(y_1,y_2,...y_p)$ puis introduisons $W:=Y-X$ et $S:=\text{vect}(W, Z)$. Alors $b_{C}\sqcup X \sqcup W \sqcup Z$ (2) reste une famille génératrice de $E$ de même cardinal que la base (1) donc est une base de $E$.

Comme $A$ et $S$ sont exactement engendrés par des sous familles disjointes et complémentaires de la même base (2),$A$ et $S$ sont en somme directe égale à$E$. Même raisonnement avec $B$ et $S$, en considérant la base $b_C\sqcup Y \sqcup W \sqcup Z$ (3)
ce qui achève la preuve.