Un système cyclique de congruences

Puisque le problème est symétrique pour toute permutation des variables $a,b,c$, nous pouvons considérer sans perte de généralité que $0< c\leqslant b\leqslant a$.
Ensuite, la deuxième équation du système peut être écrite comme suit :
$$\exists k\geqslant0/ b=c+ka$$où $k$ est positif puisque $b\geqslant c$ et $a$ sont des entiers strictement positifs.

Maintenant, on considère que $k\geqslant 1$, et on obtient $b=c+ka\geqslant c+a>a$ mais c’est absurde puisque $a\geqslant b$. Ainsi $l=0$ et $b=c$.

Puis la troisième (et dernière) congruence peut être réécrite comme $b\mid a$.

Réciproquement, tout triplet de la forme $(bd, b, b)$ avec $d,b$ des entiers strictement positifs, est une solution de ce système.