Un triangle vu de l’intérieur

Je me demande si utiliser le segment AD , qui existe déjà sur la figure (plutôt que le segment DE qui, lui, suppose l’ajout du point E ) n’est pas plus indiqué pour montrer que BD+CD < BA+CA ..

Pour moi, le point E présente l’intérêt de permettre de découper le grand triangle en deux petits triangles qui sont assez faciles à "travailler", ayant pas mal de choses communes (côtés et angles). Si on utilise juste AD, j’ai du mal à voir comment utiliser deux triangles "intéressants" et proches pour travailler leurs propriétés, sauf en prolongeant AD et en créant un nouveau point sur BC, mais là on revient à la première solution proposée (et qui d’ailleurs est celle proposée par Euclide dans les Eléments).
Ceci étant dit, il n' y a certainement pas qu’une démonstration possible. Si vous voyez une façon de s’en sortir juste avec AD sans créer d’autre point sur un des côtés du grand triangle, n’hésitez pas à publier une autre solution. C’est vraiment l’esprit du site d’être un lieu d’échanges. Au plaisir