Une caractérisation des nombres rationnels

Procédons par double inclusion :

$\boxed \Rightarrow$ Soit $x\in \Q \Rightarrow \exist (p,q) \in \Z \times \N^{*}, x=\frac p q$. Il est naturel de calculer le développement décimal via la division, ie, on note $(a_{n})$ la n-ième décimale de $x$, et $r_{n}$ la suite des restes dans les divisions euclidiennes telle que : $p= a_{0}\cdot q +r_{0}$ et $\forall n\in \N^{},10r_{n-1} = a_{n} q + r_{n}$ avec $0\le r_{n} < q$.
Or, $r_{n}$ étant à valeurs dans un ensemble de cardinal fini ${0,...,q-1 }$, il existe $a<b \in \N, r_{a}=r_{b}$. Et grâce à l’unicité de la division euclidienne, on montre par récurrence immédiate que $a_{n}$ admet pour période $b-a$ à partir du rang $a+1$.

$\boxed \Leftarrow$ Soit $x\in \R$ et $(a_{n})$ son développement décimal, avec $(a_{n})$ périodique à partir du rang $N \in \N$ et de période de longueur $p\in \N$, ie, $x=a_{0},a_{1}...\overline{a_{N}...a_{N+p-1}}=a_{0},a_{1}...a_{N-1}+0.0...\overline {a_{N}...a_{N+p-1}}$. On a $a_{0},a_{1}...a_{N-1}$ qui est un nombre décimal, donc rationnel.
Il suffit donc de montrer que $0.0...\overline{a_{N}...a_{N+p-1}}\in \Q$. Notons, $x'=0.0...\overline{a_{N}...a_{N+p-1}}$, alors $10^{N}x'=0,\overline{a_{N}...a_{N+p-1}}$ et $10^{N+p}x'=a_{N}...a_{N+p-1},\overline{a_{N}...a_{N+p-1}}$, d’où, $10^{N+p}x'-10^{N}x' = a_{N}...a_{N+p-1} \Leftrightarrow x' =\frac {a_{N}...a_{N+p-1}} {10^{N+p}-10^{N}} \in \Q$.

Ainsi, $x$ est une somme de nombres rationnels et est donc lui-même rationnel.