A characterization of rational numbers

Sens direct
Soit un nombre $\frac{p}{q}\in \mathbb{Q}$.
On peut trouver les différentes décimales par récurrence de la manière suivante :

• $p=a_0q+r_{0}$ avec $0\leqslant r_{0}<q$
• $10 \; r_{0}=a_{1}q+r_{1}$ avec $0\leqslant r_{1}<q$
• ...
• $10 \; r_{i}=a_{i+1}q+r_{i+1}$ avec $0\leqslant r_{i+1}<q$

On note que $0 \leqslant r_{k}<q$ conduit à $0 \leqslant \frac{10\,r_{k}}{q}<10$. Cette récurrence (qui n’est autre que la division "à la main" que l’on apprend dans les petites classes mais je ne sais pas la dessiner ici) conduit à la décomposition de $\frac{p}{q}=a_{0},a_{1}a_{2}....a_{i}$...
$r_{i}$ ne peut prendre au maximum que $q$ valeurs différentes donc $\exists l \mid r_l=r_0$ d’où $a_{l+1}=a_{1}$
On remarque que $\forall j>0$, $a_{{i+j}}$ ne dépend que de $r_{i}$ il vient donc que $a_{i+l}=a_{i}, \; \forall i\in \mathbb{N}$
On montre ainsi que la série des décimale est périodique de période $l\leqslant q$.

Sens réciproque
Soit $x\in \mathbb{D}$ on peut donc écrire en base 10 : $x=a_0,a_{1}a_{2}...a_{i}...$ avec $a_{0}\in \mathbb{Z}$ et $a_{i} \in\mathbb{Z}/10\mathbb{Z}, i>1$
Supposons que la suite des décimales $a_{i}$ soit périodique de période $l$ ($l>0$) c’est à dire que $\forall i, a_{i+l}=a_{i}$.
L’astuce classique consiste calculer :
$$10^{l}x-x=(10^l-1)x=a_{0}a_{1}...a_{l}$$ On note que $l>0\rightarrow 10^l-1 \neq 0$ Il vient donc que $x=\frac{a_{0}a_{1}...a_{l}}{10^{l}-1}$ est bien un nombre rationnel.

Procédons par double inclusion :

$\boxed \Rightarrow$ Soit $x\in \Q \Rightarrow \exist (p,q) \in \Z \times \N^{*}, x=\frac p q$. Il est naturel de calculer le développement décimal via la division, ie, on note $(a_{n})$ la n-ième décimale de $x$, et $r_{n}$ la suite des restes dans les divisions euclidiennes telle que : $p= a_{0}\cdot q +r_{0}$ et $\forall n\in \N^{},10r_{n-1} = a_{n} q + r_{n}$ avec $0\le r_{n} < q$.
Or, $r_{n}$ étant à valeurs dans un ensemble de cardinal fini ${0,...,q-1 }$, il existe $a<b \in \N, r_{a}=r_{b}$. Et grâce à l’unicité de la division euclidienne, on montre par récurrence immédiate que $a_{n}$ admet pour période $b-a$ à partir du rang $a+1$.

$\boxed \Leftarrow$ Soit $x\in \R$ et $(a_{n})$ son développement décimal, avec $(a_{n})$ périodique à partir du rang $N \in \N$ et de période de longueur $p\in \N$, ie, $x=a_{0},a_{1}...\overline{a_{N}...a_{N+p-1}}=a_{0},a_{1}...a_{N-1}+0.0...\overline {a_{N}...a_{N+p-1}}$. On a $a_{0},a_{1}...a_{N-1}$ qui est un nombre décimal, donc rationnel.
Il suffit donc de montrer que $0.0...\overline{a_{N}...a_{N+p-1}}\in \Q$. Notons, $x'=0.0...\overline{a_{N}...a_{N+p-1}}$, alors $10^{N}x'=0,\overline{a_{N}...a_{N+p-1}}$ et $10^{N+p}x'=a_{N}...a_{N+p-1},\overline{a_{N}...a_{N+p-1}}$, d’où, $10^{N+p}x'-10^{N}x' = a_{N}...a_{N+p-1} \Leftrightarrow x' =\frac {a_{N}...a_{N+p-1}} {10^{N+p}-10^{N}} \in \Q$.

Ainsi, $x$ est une somme de nombres rationnels et est donc lui-même rationnel.