Une combinaison linéaire douteuse !

Rassemblons les évaluations utiles :
$$\begin{array}{c|r|ccccccc} f&f(x)&\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}{f(x)\over x^2}&\lim\limits_{+\infty}f &4e f(1)&\ f(0)\\ g& e^{-1/x^{2}}&0&1&4&0\\ f_1&x^2e^{-x^2}&1&0&4 &0\\ f_4&\left(\frac{2}{\pi}\right)^{2}\arctan(x)^{2}& ({2\over\pi})^{2} &1&e&0\\ f_2 & e^{-x^2}&&0&&1\\ f_3&xe^x&&+\infty&&0 \end{array}$$

• Pour toute fonction $f$ colinéaire à $g$ on a $\lim_{x\rightarrow0}f(x)/x^{2}=0$ or $\lim_{x\rightarrow0}f_{1}(x)/x^{2}=1$ donc $(g,f_{1})$ est libre.
• Supposons que $f_{4}=a.g+b.f_{1}$
  • comme $\lim_{x\rightarrow0}f_{4}(x)/x^{2}=\left(\frac{2}{\pi}\right)^{2}$, on a $({2\over\pi})^{2}=a.0+b.1$ : $b=({2\over\pi})^{2}$
  • les limites en $+\infty$ donnent : $1=a.1+b.0$ : $a=1$
  • multipliée par $4e$, la valeur en 1 donne $e=4(1+({2\over\pi})^{2})$ impossible (les deux membres sont séparés par 4). Donc $(g,f_{1},f_{4})$ est libre.
• toute fonction de $vect(g,f_{1},f_{4})$ est de limite finie en $+\infty$ ; ce n’est pas le cas pour $f_{3}$ (qui est de limite $+\infty$ en $+\infty$ ) donc $(g,f_{1},f_{4},f_{3})$ est libre.
• toute fonction de $vect(g,f_{1},f_{4},f_{3})$ est nulle en 0 ; ce n’est pas le cas pour $f_{2}$ (qui vaut 1 en 0) donc $(g,f_{1},f_{4},f_{3},f_{2})$ est libre et La fonction $g$ n’est pas combinaison linéaire de $f_{1},f_{2},f_{3},f_{4}$.