Une croix comme variété topologique ?

On considère la "croix" suivante, définie comme l’union de la droite des abscisses et la droite des ordonnées dans $\R^{2}$ .

S’agit-il d’une variété topologique ? Si oui, quelle est sa dimension ?

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Oakiwi@oakiwi

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Solution by Oakiwi

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Notons donc $C$ cette croix. Supposons par l’absurde que $C$ possède une structure de variété topologique de dimension $n\in \mathbb{N}^{\ast}$ et considérons un ouvert connexe $O$ de $C$ contenant l’origine.
Soit alors $\varphi : O \longrightarrow U \subset \mathbb{R}^{n}$ un homéomorphisme ( $U$ étant un ouvert de $\mathbb{R}^{n}$ ). Alors d’une part $U$ est connexe comme $\underline{\text{image d'un connexe par une application continue}}$ (argument réutilisé ci-dessous).
Si $n\geq 2$ , alors $\varphi\left(O\setminus \left\lbrace 0 \right\rbrace\right)=U\setminus \left\lbrace \varphi(0)\right\rbrace$ est encore connexe (et même connexe par arcs, faire un dessin), mais $O\setminus \left\lbrace 0 \right\rbrace$ ne l’est pas. C’est ABSURDE. Donc $n=1$ .
Cependant, $n=1$ est encore ABSURDE puisque $U\setminus \left\lbrace \varphi(0)\right\rbrace$ admet deux composantes connexes, alors que $O\setminus \left\lbrace 0 \right\rbrace$ en admet 4 (les composantes connexes sont préservées par homéomorphisme).
En conclusion, $C$ $\underline{\text{ ne peut pas être muni d'une structure de variété topologique}}$ .

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